극한
극한의 직관적 이해
극한이란 변수가 어떤 특정한 값에 한없이 가까워질 때, 그에 따라 함수 값이 어떤 일정한 값에 가까워지는 현상을 나타내는 개념입니다. 마치 자석에 쇠붙이가 가까워질수록 더 강하게 끌어당겨지는 것처럼, 변수의 움직임에 따라 함수 값이 예측 가능한 방향으로 수렴하는 경향을 살펴보는 것입니다.
여기서 중요한 점은 변수가 그 특정 값에 정확히 도달하는 것은 아니라는 점입니다. 우리는 단지 변수가 그 값에 아주 가까워질 때 함수 값이 어떻게 변화하는지에 관심을 가집니다. 이러한 극한의 개념은 함수의 행동을 특정 지점 주변에서 세밀하게 분석하는 데 기초가 됩니다.
좌극한과 우극한
특정 값으로 변수가 다가갈 때, 그 방향은 왼쪽(작은 값에서 큰 값으로)에서 다가가는 경우와 오른쪽(큰 값에서 작은 값으로)에서 다가가는 두 가지 경우가 존재합니다. 이때 왼쪽에서 특정 값으로 한없이 가까워지는 극한을 좌극한, 오른쪽에서 특정 값으로 한없이 가까워지는 극한을 우극한이라고 합니다.
함수의 특정 지점에서 극한값이 존재하기 위해서는 이 좌극한 값과 우극한 값이 반드시 같아야 합니다. 만약 좌극한과 우극한 값이 다르다면, 변수가 그 지점에 가까워질 때 함수 값이 일정한 값으로 수렴하지 않고 서로 다른 값으로 다가가므로 극한값이 존재하지 않는다고 말합니다.
극한값의 존재 조건
앞서 말씀드린 것처럼, 함수 f(x)의 x=a에서의 극한값이 존재하기 위한 필요충분조건은 x가 a로 다가갈 때의 좌극한 값과 우극한 값이 서로 같아야 한다는 것입니다. 이를 기호로 표현하면 다음과 같습니다.
lim x→a− f(x)=L (좌극한 값)
lim x→a+ f(x)=L (우극한 값)
만약 위 두 극한값이 모두 존재하고 그 값이 L로 같다면, 우리는 "x가 a로 다가갈 때 함수 f(x)의 극한값은 L이다" 라고 정의하며, lim x→a f(x)=L 로 나타냅니다.
극한과 함수의 연속성
함수의 연속성은 극한 개념과 매우 밀접한 관련을 맺고 있습니다. 직관적으로 함수가 특정 점에서 연속이라는 것은 그 점을 포함하여 그래프가 끊어지지 않고 부드럽게 이어져 있다는 의미입니다. 수학적으로 함수 f(x)가 x=a에서 연속이기 위한 조건은 다음 세 가지를 모두 만족해야 합니다.
1.함수 f(x)가 x=a에서 정의되어 있어야 합니다. (함숫값 f(a)가 존재해야 합니다.)
2.x가 a로 다가갈 때의 극한값 lim x→a f(x)가 존재해야 합니다. (좌극한과 우극한이 같아야 합니다.)
3.그 극한값과 함숫값이 같아야 합니다. 즉, lim x→a f(x)=f(a) 이어야 합니다.
따라서 극한 개념은 함수의 연속성을 엄밀하게 정의하고, 불연속점을 파악하는 데 중요한 기초가 됩니다.
극한의 다양한 성질
극한값을 계산할 때 유용하게 활용할 수 있는 다양한 극한의 성질들이 존재합니다. 몇 가지 기본적인 성질은 다음과 같습니다.
상수 함수의 극한은 상수 자체입니다. (lim x→a c=c)
x의 극한은 a입니다. (lim x→a x=a)
함수의 상수배의 극한은 극한값의 상수배와 같습니다. (lim x→a cf(x)=clim x→a (x))